Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Геометрическая формулировка:
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через и :

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади
. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел , и , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой .

Школа Пифагора

Пифагорейский союз,  был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Здесь были соединены философия с жизненной практикой, указывающей человеку достойный путь к судьбе, ожидающей его после смерти. Школа жила общинами со строгой дисциплиной нравов, от учеников требовалось целомудрие и воздержание. 
Основанный Пифагором в италийском городе Кротоне мистико-философский союз, называемый Пифагорийской школой,  был копией арийских школ Индии и Тибета, и нес на себе отпечаток египетских посвящений Тота. 
Набор учеников школы Пифагор проводил крайне дотошно. Одной из внешних сторон приемных экзаменов было воздержание испытуемого в пище, задержка дыхания под водою, преодоление бегом восьмидесятикилометровой дистанции.
Но все же основными критериями приема в школу были не внешние физические данные, а глубинные черты характера испытуемого, главные из которых — честность, праведность и любовь к окружающему миру. Если человеческий материал оказывался подходящим, то абитуриента допускали к дальнейшим тестам, продолжавшимся более пяти лет. 

Детство и юность Пифагора

С раннего детства Пифагор, как свидетельствует его биограф Порфирий, показал большие способности ко всем наукам. В юности он обучался в Тире у халдеев и овладел всей их мудростью. Потом он учился у нескольких ионийских мудрецов, в том числе у известного натурфилософа Анаксимандра из Милета, а для того, чтобы изучить математику и высшую богословскую мудрость, специально ездил в Египет. Пишут, что самосский тиран Поликрат, который был большим другом египетского царя Амасиса, дал Пифагору рекомендательное письмо к гелиопольским жрецам. Кроме Гелиополя Пифагор побывал в Мемфисе, а потом поселился в Диосполе. Тамошние жрецы очень неохотно открывали чужаку свое тайное учение. Чтобы отпугнуть Пифагора от его замыслов, они при посвящении подвергали его тяжелым испытаниям, назначая ему задания, противные эллинским обычаям. Однако он исполнял их с такой готовностью, что они разрешили ему участвовать и в жертвоприношениях и в богослужениях, куда до этого не допускался никто из чужеземцев. Диоген сообщает, что Пифагор хорошо знал египетский язык и мог читать египетские тексты, причем не только обычные, но и такие, смысл которых понятен лишь посвященным. Возможно, в Египте Пифагор почерпнул одно из главных положений своего будущего вероучения: каждый должен стремиться к тому, чтобы внутренне и внешне сделаться достойным человеком и стать нравственным произведением искусства. Ведь египетские жрецы в то время, в отличие от греческих, не только составляли нечто вроде сословия и получали соответственное образование, но также вели особый, нравственный образ жизни, придерживаясь определенных правил поведения. Поэтому вполне вероятно, что именно в Египте у Пифагора зародилась мысль о его будущем союзе, представляющем собой прочное сожительство людей, объединившихся вместе для целей умственной и нравственной культуры.